Oneindig: Een Getemde Feeks

 

Prof.dr. Harm Bart

(emeritus-hoogleraar Wiskunde aan de EUR)

 

Spreker gaf, ten behoeve van de website, onderstaande samenvatting van zijn lezing:

Overbekend – en iconisch – is het Droste cacaobusje: het suggereert via de beeldherhaling de aanwezigheid van een oneindig aantal verpleegsters. Zoiets kan in de werkelijkheid van alledag uiteraard niet echt tot stand worden gebracht. Ons geestesoog stapt daar echter overheen en tovert het ons wel voor.

Oneindigheidsbesef! Wezenlijke elementen van religie vinden er hun basis in: eeuwigheid, almacht en hiernamaals. En dan is er het raadselachtige fenomeen van het (menselijk) zelfbewustzijn. De filosoof Josiah Royce (1855-1916) brengt het rechtstreeks in verband met het oneindigheidsbesef. De mens is zich van zichzelf bewust, van dat feit is hij zich bewust, ook weer daarvan, enzovoort … ad infinitum. Een mentaal Droste-effect.

Ook bij het tellen speelt het oneindigheidsbesef een rol: hoe lang men er ook mee doorgaat, altijd kan men verder. Binnen het eindige blijvend  reikt men verder en verder. Men spreekt in dat geval wel van potentieel oneindig: een grens ontbreekt.
Dit oneindigheidsaspect speelt al vroeg een rol in de wiskunde, bijvoorbeeld in de zogenoemde uitputtingsmethode van Archimedes  (287-212 v. Chr.) waarmee hij oppervlakken en inhouden van gebogen lichamen wist te bepalen. Eeuwen later mondde dit via de inzichten van Isaac Newton (1647-1727) en Gottfried Leibniz (1646-1716) uit in de moderne infinitesimaalrekening met haar limietprocessen (calculus). Tegenwoordig een standaard element in de op toepassingen gericht wiskunde.     

Wat ons wordt voorgespiegeld bij het cacaobusje is een voltooid oneindig, doorgaans actueel oneindig genoemd. Het ligt als het ware onder het potentieel oneindig. De mogelijkheid van het ‘doortellen’ ontleent haar bestaan aan de actuele oneindigheid van een daadwerkelijk oneindig reservoir van getallen. Het gaat om ‘geleende realiteit’ zoals Georg Cantor (1845-1918) dit heeft genoemd.
Het werken met oneindig was lange tijd omstreden. Met name daar waar het om het actueel oneindig ging bracht het paradoxale elementen met zich mee. Zoals de befaamde paradox ‘Achilles en de Schildpad’ van Zeno de Eleaat (ca. 490-430 v.Chr. Deze stelt de mogelijkheid van beweging ter discussie en grijpt aan op ons begrip van ruimte en tijd. Nog altijd – na 2.5 duizend jaar – brengt ze de pennen in beweging. De hoog oplaaiende controverse over  de aard van de tijd tussen de filosoof Henri Bergson (1859-1954) en Albert Einstein (1879-1955) had zelfs invloed op de aan laatstgenoemde toegekende Nobelprijs. Hij kreeg deze niet voor zijn relativiteitstheorie maar voor zijn – eveneens baanbrekende – bijdrage aan de kwantum-mechanica (foto-elektrisch effect).

Van een meer puur wiskundig karakter is een door Galilleo Galilei (1564-1642) – één van de grondleggers van de moderne natuurwetenschap – naar voren gebrachte paradox. Hij constateerde dat er een één-op-één relatie is tussen de zogenoemde natuurlijke getallen, de rij 1, 2, 3, … en de rij van alle kwadraten: 1, 4, 9, … beide onbeperkt doorlopend:
                     1 ↔ 1    (= 12),
                    2 ↔ 4    (= 22), 
                    3 ↔ 9    (= 32),
                    4 ↔ 16  (= 42),   
                    5 ↔ 25  (= 52), enz.
In die zin zijn het er ‘evenveel’.
Paradoxaal: enerzijds bevat de tweede rij overduidelijk veel minder getallen dan de eerste, maar toch kunnen ze als een hand in een handschoen naadloos op elkaar worden gepast.
Zoals gesuggereerd door de figuur hiernaast, maar dan opgerekt tot in het oneindige.
Voor Galileo Galilei was dit onbestaanbaar: het deel is altijd kleiner dan het geheel – een klassiek adagium. Toch was het precies dit hand/handschoen-fenomeen – aangeduid met de term gelijkmachtigheid – dat de eerder genoemde Georg Cantor bracht tot een uitgewerkte theorie van de oneindige verzamelingen.
Maar ook hier bleven de verrassingen niet uit.  Zo bleken er niet-gelijkmachtige oneindige verzamelingen te bestaan: verschillende typen oneindig dus. Met de corresponderende onderling verschillende ‘oneindige aantallen’ kan zelfs tot op zekere hoogte worden gerekend: transfiniete arithmetiek. Verbluffende uitkomsten! Cantor zelf zei er over: Ich sehe es, aber ik glaube es nicht.
Helemaal adequaat was de door hem ontwikkelde theorie uiteindelijk niet. Er doken toch weer paradoxen op. Zoals die van Bertrand Russell (1872-1970) die het werk van Gottlob Frege (1848-1925) op losse schroeven zette.
Dit leidde tot een diepgaand grondslagenonderzoek waarmee de kou uit de lucht kon worden gehaald. Althans daar lijkt het op. Maar al is de feeks dan getemd … het blijft een feeks.
Uit het grondslagen onderzoek bleek via het werk van Kurt Gödel (1906-1978), de mathematische evenknie van Albert Einstein, ook dat het buiten het vermogen van de menselijk rede ligt om de consistentie van de wiskunde te bewijzen.
En zo rijst vanuit dit meest ‘redelijke’ deel van de wetenschap een les in bescheidenheid op.
Prediker voorvoelde het al: Onbereikbaar is wat bestaat, en onpeilbaar. Wie kan het doorgronden?

Harm Bart

De powerpoint van deze lezing is te bekijken en/of te downloaden via deze link.